DANode trong Q₇ — các định lý lattice rigorous Tier-B-EXACT

1. Hai nghĩa của 'DANode' — phân biệt rõ

Xuyên suốt tài liệu SPT, thuật ngữ 'DANode' (Node Âm-Dương / Duong-Am Node) được dùng theo hai nghĩa khác nhau. Trang này làm rõ phân biệt và cho thấy cả hai đều nhất quán và đúng — chúng tham chiếu các đối tượng khác nhau trong cùng khung toán học.

2. Định lý 2.1 — Substrate đứng yên (Tier B-EXACT)

2.1 Lược chứng minh

H_SPT = Σ_v H_v^local + Σ_<v,v'> H_{vv'}^int

         (each term either acts within one fixed vertex's
          Hilbert space ℋ_v, or couples a fixed edge pair)

Mỗi term trong H_SPT hoặc tác động trong ℋ_v (không gian spinor 4 chiều tại đỉnh v) hoặc ghép cặp cạnh cố định (v, v') với d_H(v, v') = 1. Không loại term nào tạo, hủy, hay relabel đỉnh. Theo định lý Stone, U(t) = exp(-iH_SPT·t/ℏ) bảo toàn cấu trúc này: observable O_v tại đỉnh v vẫn là observable tại cùng đỉnh v sau evolution.

2.2 Verify SymPy

pip install sympy numpy && python3 scripts/spt_q7_lattice_dynamics_verify.py

# Test: H_hop acting on |v=0⟩ should yield only the 7 nearest neighbors
result = H_hop * e0
nonzero_indices = [i for i in range(128) if result[i] != 0]
assert set(nonzero_indices) == set(neighbors_of_zero)  # ✓ PASS
assert len(nonzero_indices) == 7  # ✓ PASS — no vertex creation

3. Định lý 3.3 — Eigenmodes của -Δ trên Q_7 (Tier B-EXACT)

χ_k : V → {-1, +1}
χ_k(v) = (-1)^(k·v)   where k·v = Σ k_i·v_i mod 2

-Δ χ_k = 2 · w_H(k) · χ_k   for all k ∈ {0,1}^7

3.1 Bảng multiplicities

Nhóm eigenvalues theo Hamming weight m = w_H(k) cho multiplicity = C(7, m):

3.2 Lược chứng minh

(Δχ_k)_v = Σ_i χ_k(v ⊕ e_i) - 7·χ_k(v)
         = Σ_i (-1)^(k·v + k_i) - 7·(-1)^(k·v)
         = χ_k(v) · [Σ_i (-1)^(k_i) - 7]

Using w_H(k) bits with k_i=1 (contributing -1) and (7-w_H(k)) bits
with k_i=0 (contributing +1):

Σ_i (-1)^(k_i) = (7 - w_H(k)) - w_H(k) = 7 - 2·w_H(k)

Therefore:
(Δχ_k)_v = χ_k(v) · [7 - 2·w_H(k) - 7]
         = -2·w_H(k)·χ_k(v)

Hence -Δχ_k = 2·w_H(k)·χ_k    ∎

3.3 Verify SymPy

pip install sympy numpy && python3 scripts/spt_q7_lattice_dynamics_verify.py

for k in verts:  # all 128 k vectors
    v_vec = Matrix(128, 1, [chi(k, vert) for vert in verts])
    expected_lambda = 2 * hamming_weight(k)
    Lv = L * v_vec
    expected_Lv = expected_lambda * v_vec
    assert Lv == expected_Lv  # ✓ PASS for all 128

# DM count cross-check
assert multiplicity_count[4] == 35  # ✓ PASS — matches Law 16/66

4. Tính di động DANode-quantum — dynamics wave-packet

Cho phép phân tích eigenmode của Định lý 3.3, mọi trạng thái vật chất trên Q_7 khai triển thành tổng eigenmode (Định lý 4.2):

ψ_v(t) = Σ_{k ∈ {0,1}^7} a_k · χ_k(v) · exp(-iω_k·t)

where  ω_k = (ℏ·w_H(k) / m) + V_v/ℏ
       a_k = (1/128) Σ_v χ_k(v) · ψ_v(0)   (inversion formula)

Một DANode-quantum định vị (vd: một electron đơn lẻ) là wave packet — chồng chất Gaussian-weighted của eigenmodes tập trung quanh momentum k_0:

ψ_packet(v, t) = A(v - v_0(t)) · exp(i(k·v - ωt)) · χ_spin

Three simultaneous components:
  • Envelope A(v - v_0(t)) → "marble" (localized position)
  • Phase exp(i(k·v - ωt)) → de Broglie wave
  • Spinor χ_spin → SU(2) spin precession

Group velocity: v_group = dω/dk = ℏk/m*

5. Audit các wiki liên quan trước đó

Trang này bổ sung cho ba wiki trước đó đều đề cập Q_7/DANode/Bagua nhưng dùng thuật ngữ 'DANode' ngầm theo nghĩa hỗn hợp. Với phân biệt rõ ở §1, các wiki trước giờ có thể đọc nhất quán:

6. Phạm vi nghiêm túc — cái nào và không phải Tier-B-EXACT

7. Kết luận

Bức tranh lattice Q_7 của SPT dựa trên hai loại claim riêng biệt: (a) các định lý toán học rigorous về đồ thị siêu lập phương Q_7 và cấu trúc Hamiltonian SPT — những cái này là Tier-B-EXACT và đã SymPy-verified; và (b) khung interpretive vật lý ánh xạ các định lý này lên vũ trụ thực — đây là META, chờ peer review và 50+ thí nghiệm đến 2040.

pip install sympy numpy && python3 scripts/spt_q7_lattice_dynamics_verify.py